Description
Les élèves savent placer un nombre décimal sur une droite graduée en conséquence (l'utilisation régulière de la règle graduée en mesure semble être suffisamment maîtrisée pour être réinvestie sous une autre forme). En revanche, le lien ne semble pas être établi entre nombre décimal et fraction décimale. Ainsi, comparaisons et rangements de nombres décimaux ne peuvent se faire à priori. Puisque le placement d'un nombre sur une droite est maîtrisé, il faut alors utiliser cette connaissance acquise pour établir la relation (1/10ème = 0,1 ; 1/100ème = 0,01 ; etc...). La séquence s'ouvre sur une situation-problème consistant en le placement de bateaux sur une droite numérique et s'achève sur une situation-problème de même nature avec une course de robots.
- Ajouter 2 fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.
- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000e)
- Placer des nombres décimaux sur une droite graduée en conséquence
Ancien Socle commun (2007)
- Ecrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples
- Séance 1 : Maman les p'tits bateaux... - Nombres, calcul et résolution de problèmes, 50 min
- Séance 2 : Fractions décimales égales entre elles - Nombres, calcul et résolution de problèmes, 50 min
- Séance 3 : Du sens des chiffres dans les parties décimales - Nombres, calcul et résolution de problèmes, 50 min
- Graduations
- Doc 2 et 3 (exercices)
Question de départ : qu'est-ce qu'un nombre décimal ? Comment fonctionne-t-il ?
Présentation du problème : (oral) le professeur, après un rapide schéma au tableau, propose aux élèves le problème suivant : « Le mille nautique est une unité de mesure de longueur maritime (qu’on utilise sur l’eau). Il y a trois bateaux : un blanc, un gris et un noir (→les trois bateaux sont dessinés, mais pas colorés). Le bateau blanc se situe à 17/10ème de mille de la côte. Le gris est à 28/100ème de mille. Enfin, le noir est à 3 milles de la côte. (le professeur peut écrire les fractions énoncées, mais loin des bateaux) Classez les bateaux du plus proche au plus éloigné de la côte. »
Après une rapide recherche individuelle, le maître invite les élèves à comparer leur solution à celle de leur camarade.
Chaque binôme doit proposer sa solution puis l'argumenter (« Comment avez-vous fait ? »)
Les propositions sont notées au tableau ainsi que les raisonnements. L’un et l’autre ne sont pas nécessairement face à face sur le tableau. Les élèves, ne considérant que les nombres entiers pour apprécier l'éloignement des bateaux par rapport à la côte, auront certainement un classement erroné.
→ Leur montrer, si aucun élève ne l'a souligné, qu'ils se sont trompés car ils ont oublié que les longueurs énoncées étaient des fractions ! Si les fractions ont été prises en compte, peut-être les élèves n'ont-ils pas considéré les dénominateurs de façon convenable. Leur dire qu'on leur donne une frise permettant la vérification de leurs réponses.
► Distribution du doc. 1 (élèves en difficulté) ou de la frise numérique graduée.
Différenciation proposée : aux élèves en difficulté, donner la frise comportant les bateaux déjà dessinés, aux autres, donner une frise simplement graduée.
« Que faut-il faire pour pouvoir situer les bateaux sur la frise ? » → continuer la graduation pour éviter les erreurs de lecture
« Comment faire ? » → Observation de la frise : « 1 », c’est l’unité (1 mille nautique). Où est "2" ?
Lorsqu’on dit « 17/10ème de mille » en combien de parties égales faut-il fractionner l’unité ? → en 10.
28/100ème ? → En 100.
Lancer les élèves à nouveau sur la recherche non sans leur avoir rappelé que les longueurs énoncées étaient des fractions (sauf pour le bateau qui est à 3 milles nautiques)
La nouvelle mise en commun est effectuée au tableau sur une reproduction de la frise des élèves, la plus grande possible (idéalement la frise est vidéoprojetée sur tableau velleda ou TNI). Le maitre invite les élèves à identifier que les "grands traits" représentent les unités, les "moyens traits", coupent les unités en 10 parts égales (ce sont les dixièmes) et les "petits traits", les centièmes, fractionnent l'unité en 100 parts égales.
Amener les élèves à comprendre qu'il est possible, sur la frise, de se déplacer facilement (comme sur un double décimètre) : en effet, pour faire "28/100èmes" il est inutile de compter 28 "petits traits". Il suffit de compter 2 "moyens traits" (dire "10", "20") et "8 petits traits". Cet exercice permet aux élèves d'établir une première relation entre fractions décimales équivalentes entre elles.
Dans un deuxième temps, demander aux élèves de repérer le placement des bateaux sur leurs frises et de tenter d'exprimer leurs positions autrement que dans l'énoncé (c'est, en réalité, un exercice de lecture sur frise numérique). Le maître dirige fortement les élèves avant qu'ils ne trouvent de façon autonome que :
a) 17/10èmes c'est aussi (en regardant les "petits traits") 170/100 ou 1+7/10 ou 1 + 70/100 (ou 1,7)
b) 3 c'est aussi 30/10 ou 300/100
Au tableau, le maître peut proposer aux élèves d'autres fractions à décomposer, avec vérification sur frise.
► On ne sait toujours pas ce qu'est un nombre décimal mais on a découvert, aujourd'hui, qu'il existe des fractions qui partagent l'unité en 10, 100, 1000...
Ces fractions, par ailleurs, peuvent se lire de plusieurs manière.
Le maître ajoute que ces fractions se nomment des fractions décimales que l'on peut repérer sur une frise numérique. Certaines fractions décimales sont égales entre elles.
Le maître retourne aux solutions des élèves proposées en début de séance et leur demande de rayer les réponses erronées. En revanche, les raisonnement justes peuvent être entourés.
En guise d'évaluation formative, le maître distribue les exercices (doc 2 et 3) aux élèves qui l'effectuent individuellement. Suit une correction collective par échange de fiches entre élèves par exemple. Cette phase fixe la notion de fraction décimale.
- Adopter un mode de lecture multiple d'une frise numériqueDurée 50 minutes (7 phases)Matériel Les mêmes documents que la séance précédente (doc 1 et graduations particulièrement)
Rappel de la séance précédente :
qu'est-ce qu'une fraction décimale ? ► C'est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000...
de quelles manières découpe-t-elle l'unité ? ► C'est une fraction dans laquelle l'unité est partagée en 10, 100, 1000...
quelles sont les particularités des fractions décimales ? ►Plusieurs fractions décimales peuvent être égales entre elles. On peut "convertir" les fractions décimales.
Problème : Voici justement un problème de conversion de fractions décimales : « Quelle distance ont parcouru ensemble les trois bateaux ? » (cf. séance 1)
→ On pose ensemble l’addition au tableau : 17/10ème + 28/100ème + 3.
Quel est le problème ? → Il n’y a pas la même unité (Les fractions ne sont pas les mêmes).
Demander aux élèves de rechercher, à l’aide de la frise, le moyen de mettre les fractions au même dénominateur.
Mise en commun et justifications des démarches (si les élèves ne parviennent pas à un consensus, faire vérifier en comptant les graduations de la frise) : 17/10 + 28/100 + 3 = 170/100 + 28/100 + 300/100 = 498/100
La nouvelle recherche est à effectuer d'abord en binômes, puis par rapprochement de binômes, par groupes de 4 élèves.
« Sur le dessin des bateaux (doc. 1), on a oublié de placer une île qui s’étend de 222/100ème de mille à 2 milles + 8/10ème + 5/100ème de mille. On a aussi oublié de placer le trésor qui est à 2,6 milles de la côte. Sans utiliser la frise, dites quel bateau est le plus près du trésor ».
Les informations sont notées au tableau et, au besoin, le maître fait reformuler la consigne. Il peut aussi reproduire grossièrement la frise numérique au tableau et faire un schéma de "l'île au trésor".
Quelques groupes explicitent leur démarche. Etablir des liens entre ceux qui ont effectué leurs recherches avec …