Droites perpendiculaires et parallèles Recommandé

Dans la classe:

Pour chaque équipe, je tracerai une droite sur le sol et je placerai un piquet (ou un plot) à l’extérieur de la droite. Le but du jeu pour vous sera de trouver où se placer sur la droite pour être le plus près du piquet. Pour vérifier, on tendra une corde entre le piquet et cette position, la longueur de la corde devra être la plus courte possible.

Illustrer le dispositif en faisant un schéma au tableau (droite oblique d, plot P).
 

Répartir les élèves en deux équipes.

Matérialiser une droite dans la classe et placer un plot à une distance assez éloignée (entre 3 et 5 m) pour chaque équipe.

Dans chaque équipe, les élèves proposent diverses positions pour le point cherché et le matérialisent à la craie sur la droite.

Une fois les prévisions effectuées, la vérification consiste à comparer les longueurs de la corde suivant les positions repérées. Cette vérification permet d’écarter des positions manifestement erronées et de définir une zone de points qui conviennent ; le travail géométrique permettra ultérieurement d’assurer l’unicité de la position cherchée.

Pour la comparaison deux méthodes peuvent être utilisées :

-  mettre des repères sur la corde correspondant aux différentes positions ;

– se déplacer sur la droite en maintenant une extrémité de la corde sur le piquet : un élève se déplace en marchant sur la droite ; il tient la corde dans ses mains en ajustant sa longueur pour qu’elle reste tendue pendant son déplacement. On constate que l’élève qui marche doit réduire puis allonger cette longueur pour garder la corde tendue. Faire marquer sur le sol le point où la longueur de la corde paraît la plus courte.

Demander aux élèves quelle est la position de cette corde par rapport à la droite (ou quel est l’angle formé par la corde et la droite).

Faire vérifier les hypothèses des élèves avec l’équerre de la classe : dans la position trouvée, la corde est pratiquement perpendiculaire à la droite.

Conclure : on appelle distance entre le point P et la droite d la longueur obtenue en traçant le segment perpendiculaire à d partant de P. 

Les élèves retrouvent des éléments de l’activité précédente sous forme d’un dessin : la droite comme celle qui était tracée sur le sol, le point P (représentant le plot).

Question a.

Travail individuel, correction collective Recenser les remarques des élèves : les longueurs sont différentes, quand on prend les points dans l’ordre on constate que les longueurs diminuent puis augmentent. Faire le lien avec l’activité menée dans la classe.

Questions b. et c.

Faire décalquer le dessin (ou utiliser une fiche photocopiée). Lecture et reformulation des consignes.

Travail individuel. Correction collective.

Réponses :

a. PA = 6 cm, PB = 4 cm 5 mm, PC = 3 cm 5 mm, PD = 4 cm,  PE = 5 cm, PF = 7 cm 5 mm.

b. Le segment PH mesure 3 cm, il est perpendiculaire à la droite d.

c. L’angle formé par le segment [PH] et la droite d est un angle droit.

​Conclure

Pour trouver le point H de la droite d le plus près du point P, on trace la droite perpendiculaire à la droite d passant par le point P. La longueur du segment [PH] s’appelle la distance du point P à la droite d. C’est la plus courte distance du point P à un point de la droite d. Faire lire et commenter la trace écrite.
 

​Rappeler la particularité des droites perpendiculaires et les outils à utiliser.

​Deux droites perpendiculaires forment un angle droit.

Au tableau dessiner deux droites perpendiculaires.

Nommer l'instrument l'équerre

Marquer l'angle droit.

​1. Les droites d et f font perpendiculaires. Est-ce vrai?

Rappeler aux élèves les caractéristique d'une droite (se prolonge indéfiniment) et d'un segment (est limité par deux points)

Faire souligner pour les élèves en difficulté de prolonger les droites pour trouver la solution.

Vérifier et valider les propositions des élèves

Correction collective

C'est vrai, les deux droites ne se coupent pas dans l’espace du dessin, mais les droites sont tout de même perpendiculaires car si on les prolonge elles se coupent en faisant un angle droit.
 

2. Observer attentivement comment tracer avec précision une droite f perpendiculaire à une droite donnée d avec une règle et une équerre. Reproduire la construction.

3. Tracer une droite d sur du papier uni. Puis tracer trois droites a, b, c ; chacune doit être perpendiculaire à la droite d.

Commenter les différentes étapes.

Faire remarquer que si deux droites se coupent en faisant un angle droit, les trois autres angles sont droits.

Valider les réponses des élèves.

4. Quel est le point qui se trouve à la distance 2 cm de la droite d ? Explique comment tu fais pour en être sûr(e). 

5. Trace une droite d sur une feuille unie. Place deux points A et B de part et d’autre de la droite d : le point A à 5 cm de la droite d, le point B à 3 cm de la droite d.

4.Faire remarquer aux élèves que le but est de mettre en évidence le fait que, pour parler de distance d’un point à une droite, il faut contrôler la perpendicularité.

5. Laisser un temps de recherche pour résoudre le problème posé (les élèves travaillent sur leur cahier), puis demander aux élèves de confronter leur proposition avec celle de leur voisin.

Mise en commun. Demander à quelques élèves d’expliciter leur procédure.

Travail et correction individuels pour le point B.

​5.L’existence de plusieurs solutions pour le point A peut conduire certains élèves à dire que les solutions se trouvent sur la droite parallèle à la droite d située à 3 cm de d. Si c’est le cas, l’enseignant confirme cette réponse. Si elle n’est pas proposée par les élèves, ne pas l’introduire ici ; cette question sera reprise à la séance des droites parallèles.

4.  Tous les segments tracés mesurent 2 cm, mais seul le point F est à 2 cm de la droite d.
5. Les élèves ont à placer un point A à une distance imposée (5 cm) de la droite d. Ils doivent donc penser à tracer une droite perpendiculaire à la droite d en un point quelconque de d et mesurer une distance de 5 cm sur cette droite.

​Pour les élèves qui ont réussi rapidement et facilement les étapes précédentes

Enigme:

a. Chacun de ces quadrilatères a deux côtés perpendiculaires. Repasse ces côtés perpendiculaires en vert.

b. Un de ces quadrilatères a un angle droit …