Calcul littéral – 4ème – Cours – Cycle 4 – PDF à imprimer

Au collège, les élèves étudient le calcul littéral en 4ème en cours de maths. Vous avez besoin d’une leçon complète sur cette notion ? Vous êtes au bon endroit. Notre site met à votre disposition trois fiches sur le calcul littéral. Le chapitre débute avec des rappels (définition et convention d’écriture). Il aborde ensuite la factorisation et la réduction d’une expression littérale. Le troisième point traite du développement et de la réduction d’une expression littérale. Enfin, le cours se termine par la double distributivité et les formules des identités remarquables. Notre ressource vous intéresse ? Lisez ce qui suit pour la découvrir en détail.

Connaître le calcul littéral en 4ème grâce à notre cours

Avant toute chose, l’élève de 4ème a besoin de revenir sur ses cours de 5ème. En effet, le calcul littéral est étudié dès le début du cycle 4.

Notre fiche de leçon commence en donnant la définition d’une expression littérale : un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

Autre point essentiel à maîtriser : les conventions d’écriture. Celles-ci permettent d’alléger la notation d’une expression littérale. Les élèves doivent les connaître afin de produire une expression littérale correcte.

Factoriser et réduire une expression littérale au cycle 4

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Pour cela, l’élève cherche le facteur commun.

À noter : la factorisation nécessite souvent de décomposer les termes sous la forme de produits. Ainsi, le facteur commun apparaît.

Réduire une somme ou une différence, c’est l’écrire avec le moins de termes possible. Cela implique, là encore, d’identifier le facteur commun.

Afin d’appliquer son cours de calcul littéral 4ème, l’élève dispose sur notre site d’exercices en téléchargement. Au format .pdf ou .rtf, ils sont adaptés au niveau 4ème.

Savoir développer une expression littérale en 4ème avec notre leçon

Le développement est l’inverse de la factorisation. Développer revient donc à transformer un produit en une somme ou une différence.

Dans l’expression a = 4 x 12, nous partons d’un produit.

Voici son développement :

a = 4 x (10 + 2)

a = 4 x 10 + 4 x 2

a = 40 + 8

Nous avons maintenant une somme.

Calcul littéral – 4ème – Cours

I) Rappels

 

1) Définition

 

Une expression littérale est une expression dans laquelle des nombres (souvent inconnus) ont été remplacés par des lettres. Si une expression contient plusieurs fois la même lettre, alors elle désigne le même nombre.

 

2) Conventions d’écriture

 

Afin d’alléger les écritures, on convient des règles suivantes :

· Le signe de la multiplication ( x ) disparaît :

– entre deux lettres : a x b s’écrit ab ;

– entre un nombre et une lettre : 3 x a ou a x 3 s’écrit 3a ;

– entre des nombres, des lettres et des parenthèses : 4 x a x (2x + 1) s’écrit 4a(2x+1).

· On conserve les parenthèses et le signe  x  dans certains cas :

5 x (-8) : des parenthèses pour séparer  x  et – ; 4 x 35 : sans le signe  x  on lirait 435.

Exemples : 2 x a = 2a ; 3 x a x a = 3aa = 3a² ; 4 x (a – 2) = 4(a – 2).

· Les facteurs s’écrivent dans l’ordre suivant :

1°) les nombres ; 2°) les lettres et dans l’ordre alphabétique ; 3°) les parenthèses.

a x 2 x b s’écrit 2ab ; a x ( x + 2) x (- 5) x b s’écrit -5ab(x + 2).

 

Exemples :

4c x (-5) x (-3a) = 60ac ;

3c x 2a x (-a) x 4d = -24a²cd ;

3a x (-6) b x 4c= -72abc.

 

II) Factoriser et réduire une expression littérale

1) Factoriser

 

Définition : Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en produit.

Soient a, b, c trois nombres relatifs, alors :

ab + ac = a (b + c) et ab – ac = a (b − c)

Pour factoriser une expression littérale, il peut être nécessaire de décomposer les termes

sous la forme de produits pour faire apparaître le facteur commun.

 

Exemples : 14a + 7 = 7 × 2a + 7 × 1

Le facteur commun est : 7 donc :

14a + 7 = 7 × (2a + 1) = 7 (2a + 1)

3x² – 15x = 3x × x – 3x × 5

Le facteur commun est : 3x donc :

3x² – 15x = 3x × (x – 5) = 3x (x – 5)

 

 

2) Réduire

 

Définition : Réduire une expression revient à l’écrire avec le moins de termes possibles.

Exemples : –2t + 5t = –2 × t + 5 × t

Le facteur commun est : t donc :

–2t + 5t = (–2 + 5) × t

= 3 × t

= 3t

 

5r² – r² = (5 × r²) – (1 × r²)

Le facteur commun est : r² donc :

5r² – r² = (5 – 1) × r²

= 4 × r²

= 4r²

 

Attention ! • 7x + 4 ne peut pas être réduit car il n’y a pas de facteur commun.

En effet : 7x + 4 = 7 × x + 2 × 2

• 7x² + 4x ne peut pas être réduit malgré le facteur commun x.

En effet : 7x² + 4x = 7 × x × x + 4 × x = (7x + 4)× x

• Mais : 7x + 4x = 11x et : 7x² + 4x² = 11x²

 

Exemple : 2x² – 3x + x² + 4 – 5x – 9

= 2x² + 1x² – 3x – 5x + 4 – 9

= 3x² – 8x – 5

 

Commentaires : On regroupe les termes « semblables » (x² avec x² ; x avec x ;constante avec constante). Enfin on les réduit.

 

 

III) Développer et réduire une expression littérale

 

Développer

 

Définition : Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence.

Soient a, b, c trois nombres relatifs, alors :

a (b + c) = a (b + c) et a (b – c) = ab – ac

Exemple 1: –5(3x – 4)

= –5 × 3x – (–5) × 4

= –15x + 20

 

Commentaires : On distribue pour supprimer les parenthèses.On effectue les produits.

 

Exemple 2 : –(2a + 4b)

= –1 × (2a + 4b)

= –1 × 2a + (–1) × 4b

= –2a – 4b

 

Commentaires : On replace le facteur –1 « caché ». Ondistribue pour supprimer les parenthèses.Et on effectue les produits.

 

Exemple 3 : A = 2(x + 3) – (4 + 7x – x²) + (-2x² + 5) Commentaires :

A = 2(x + 3) – 1(4 + 7x – x²) + 1(-2x² + 5)

= 2×x + 2×3 – 1×4 – 1×7x + 1×x² – 1×2x² + 1×5

= 2x + 6 – 4 – 7x + x² – 2x² + 5

= x² – 2x² + 2x – 7x + 6 – 4 + 5

= –x² – 5x + 7

On replace les facteurs « cachés ». On distribue. On effectue les produits. On regroupe les termes « semblables ». Enfin on les réduit.

 

IV) Double distributivité

 

1) Propriété

 

Si a, b, c et d désignent des nombres positifs (non nuls) alors

on peut représenter le développement de (a + b)(c + d) par :

Remarque : les termes des développements de (a + b)(c – d),

de (a – b)(c + d) et de (a – b)(c – d) sont les mêmes que ceux de (a + b)(c + d).

La règle des signes permet de déterminer s’il s’agit du signe + ou du signe – entre deux termes.

Commentaires :

Attention aux signes !On regroupe les termes « semblables ».Enfin on les réduit.

 

 

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd

(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

 

 

2) Exemples

 

· (-t + 3)(t + 4)

= –(t × t) – (t × 4) + (3 × t) + (3 × 4)

= –t² – 4t + 3t + 12

= –t² – t + 12

 

· 3x(3 + 4x) – (5x – 1)(5x + 1)

= 9x + 12x² – (25x² + 5x – 5x – 1)

= 9x + 12x² – 25x² – 5x + 5x + 1

= 12x² – 25x² + 9x + 1

= –13x² + 9x + 1

 

V) Pour approfondir

 

Les identités remarquables

 

Les formulesDéveloppementFactorisation(a + b)2=a2 + 2ab + b2(a – b)2=a2 – 2ab + b2(a + b) (a – b)=a2 – b2

 

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